соединение двух тетраэдров

Звёздчатый октаэдр (или соединение двух тетраэдров)

Представленное изображение данного многогранника иллюстрирует именно второе его название - соединение двух тетраэдров. Так Вы можете представить себе тетраэдр красного цвета направленный вверх сквозь который проходит бежевый тетраэдр направленный вниз.

Однако математики предпочитают именовать многогранник звёздчатым октаэдром.

Звёздчатый октаэдр можно было бы признать правильным многогранником, так как все его грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны. Но на самом деле это геометрическое тело не является шестым правильным многогранником на равне с пятью известными Платоновыми телами. Причина в том, что в определении правильного многогранника присутствует слово выпуклый, то есть все грани должны лежать по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них.

 
 
 
 

История открытия


Звёздчатый октаэдр был впервые изображен в 1509 г. в книге De divina proportione («О божественных пропорциях»). Автором которой являлся математик Лука Пачоли (1445-1514 гг.). А иллюстрация для книги принадлежит руке Леонардо да Винчи.
Звёздчатый октаэдр был выполнен в виде восьми каркасных тетраэдров соединенных между собой.
 
Затем, спустя почти 100 лет многогранник был  переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная.
 
Именно такая иллюстрация звёздчатого октаэдра вызывает споры о том, каким образом был открыт  этот многогранник.
звёздчатый октаэдр Лернардо да Винчи
создание звездчатого октаэдра 1-й возможный вариант это к сторонам октаэдра присоединить 8 тетраэдров
 
Или продолжить плоскости параллельные сторонам октаэдра, получив на пересечении плоскостей те же самые 8 тетраэдров.  Иными словами, создать звездчатую форму октаэдра.
рождение звездчатого октаэдра
 
 
Второй путь: Объединить между собой два тетраэдра.
Что наглядно иллюстрирует окраска граней в два цвета – красный и бежевый.
объединение двух тетраэдров  
 

 

Видео. Вращение многогранника

Видео-ролик преобразования

Видео от наших партнеров – команда  ART KOSEKOMA, наглядно демонстрирует, как можно преобразовать октаэдр в звездчатую форму и получить два тетраэдра.

 

Сначала грани октаэдра, вытягиваясь, образуют звёздчатую форму. Затем видео-ролик показывает, как звёздчатый октаэдр можно разложить на два тетраэдра.

 

Свойства многогранника

1. Многогранник является единственной звёздчатой формой октаэдра.

звездчатый октаэдр вписан в куб
2. Интересная особенность многогранника. Если соединить между собой все остроконечные вершины, то линии пересечения точно соответствуют ребрам куба. 
Таким образом, звёздчатый октаэдр может быть вписан в куб.

тень звездчатого октаэдра

3. Если посмотреть на многогранник сверху, либо на отбрасываемую тень, то контуры рисунка будут создавать правильную шестиугольную звезду.
Шестиугольная звезда в виде двух перекрещивающихся треугольников это древнейший символ, который именуется как Звезда Давида (еще одно название - Печать царя Соломона).
звездчатый октаэдр и звезда давида

Развертка 1

развертка соединения двух тетраэдров
Первый из предлагаемых вариантов сборки – это склеить звёздчатый октаэдр из единой развертки. Такой вариант наиболее часто можно встретить в учебной литературе. Однако, ограничением является размер листа. В том случае если это лист формата А4, то размеры готового многогранника весьма скромные.
 

Развертка 2

Второй вариант, когда отдельно собираются октаэдр и 8 заготовок в виде пирамид. Затем к сторонам октаэдра поочередно приклеиваются все заготовки. Данный вариант более предпочтителен для начинающих моделистов.

развертка соединения двух тетраэдров

развертка соединения двух тетраэдров

развертка соединения двух тетраэдров

Скачать 1 Скачать 2 Скачать 3

Развертка 3

развертка звездчатого тетраэдра
На страницах интернета нам встретился весьма необычный вариант сборки, так же в виде единой развертки.